Sifat-Sifat Pengerjaan Hitung pada Bilangan Bulat

1. Sifat Komutatif (Pertukaran) 

    a. Sifat komutatif pada penjumlahan 

Andi mempunyai 5 kelereng berwarna merah dan 3 kelereng berwarna hitam. 

Budi mempunyai 3 kelereng berwarna merah dan 5 kelereng berwarna hitam. 

Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi? 

Perhatikan gambar di samping. 

Ternyata jumlah kelereng Andi sama dengan jumlah kelereng Budi. 

Jadi, 5 + 3 = 3 + 5. 

Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat komutatif. 

Secara umum, sifat komutatif pada penjumlahan dapat ditulis sebagai berikut. 

a + b = b + a

dengan a dan b sembarang bilangan bulat

     b. Sifat komutatif pada perkalian 

Jumlah kelereng Andi dan Budi sama, yaitu 8 butir.
Kelereng Andi dimasukkan ke empat kantong plastik.
Setiap kantong berisi 2 butir. 
Kelereng Budi dimasukkan ke dua kantong plastik.
Setiap kantong berisi 4 butir.
Kelereng Andi dan Budi dapat ditulis sebagai berikut.
Kelereng Andi = 2 + 2 + 2 + 2
                       = 4 × 2 = 8
Kelereng Budi = 4 + 4
                       = 2 × 4 = 8
      Jadi, 4 × 2 = 2 × 4.
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat komutatif pada perkalian.
Secara umum, sifat komutatif pada perkalian dapat ditulis:

a × b = b × a

 dengan a dan b sembarang bilangan bulat.

Latihan

Kerjakan soal-soal berikut.

Gunakan sifat komutatif pada penjumlahan dan perkalian.

1. –10 + 2 = ___ + ___

2. 29 + (–11) = ___ + ___

3. –20 + 50 = ___ + ___

4. 24 + (–40) = ___ + ___

5. –15 + (–25) = ___ + ___

6. 10 × 6 = ___ + ___

7. –5 × 9 = ___ + ___

8. 15 × (–3) = ___ + ___

9. –50 × 2 = ___ + ___

10. –30 × (–3) = ___ + ___

2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)
    a. Sifat asosiatif pada penjumlahan

Andi mempunyai 2 kotak berisi kelereng.
Kotak I berisi 3 kelereng merah dan 2 kelereng hitam. 
Kotak II berisi 4 kelereng putih. 


Budi juga mempunyai 2
kotak berisi kelereng.
Kotak I berisi 3 kelereng merah. 
Kotak II berisi 2 kelereng hitam dan 4 kelereng putih.
Samakah jumlah kelereng yang dimiliki Andi dan Budi?
Perhatikan gambar di samping.
Ternyata jumlah kelereng yang dimiliki Andi sama dengan jumlah kelereng yang dimiliki Budi.
Jadi, (3 + 2) + 4 = 3 + (2 + 4).
Cara penjumlahan seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Secara umum, sifat asosiatif pada penjumlahan dapat ditulis:

(a + b) + c = a + (b + c)

 dengan a, b, dan c sembarang bilangan bulat.

    b. Sifat asosiatif pada perkalian

Andi mempunyai 2 kotak mainan. Setiap kotak diisi 3 bungkus kelereng. 
Setiap bungkus berisi 4 butir kelereng. Berapa jumlah kelereng Andi?
Ada dua cara yang dapat digunakan untuk menghitung jumlah kelereng Andi.
Cara pertama menghitung banyak bungkus.
Kemudian, hasilnya dikalikan banyak kelereng tiap bungkus.
Banyak bungkus × banyak kelereng tiap bungkus = (3 bungkus + 3 bungkus) × 4 butir
                   = (3 + 3) × 4
                   = (2 × 3) × 4 = 24 butir
Cara kedua menghitung banyak kelereng setiap kotaknya dahulu kemudian hasilnya dikalikan banyak
kotak.
Banyak kotak × banyak kelereng = 2 × (4 + 4 + 4)
                                                   = 2 × (3 × 4) = 24 butir
Perhitungan cara I: (2 × 3) × 4.
Perhitungan cara II: 2 × (3 × 4).
Hasil perhitungan dengan kedua cara adalah sama.
Jadi, (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4).
Cara perkalian seperti ini menggunakan sifat asosiatif pada perkalian.
Secara umum, sifat asosiatif pada perkalian dapat ditulis:

(a × b) × c = a × (b × c)

dengan a, b, dan c bilangan bulat.

Latihan
Gunakan sifat asosiatif pada perkalian.

1. (2 × 4) × 3 = 8 × . . . = . . . .                   

    2 × (4 × 3) = . . . × 12 = . . .

    Jadi, (2 × 4) × 3 = . . . × (4 × 3).

2. (4 × 5) × 8 = . . . × 8 = . . .

    4 × (5 × 8) = 4 × . . . = . . .

    Jadi, (4 × 5) × . . . = 4 × (. . . × . . .)

3. (4 × (–3)) × 6 = 4 × (. . . × 6)

4. (5 × (–2)) × 4 = 5 × (–2 × . . .)

5. (–3 × 2) × 8 = . . . × (2 × . . .)

6. (–4 × (–6)) × 10 = . . . × (–6 × . . .)

Gunakan sifat asosiatif pada penjumlahan.

1. (2 + (–1)) + 3 = . . . + (–1 + 3)

2. (1 + 2) + (–5) = 1 + (2 + . . . . .)

3. (–2 + 3) + 4 = –2 + (. . . + 4)

4. (5 + (–1)) + (–4) = . . . + (–1 + (–4))

5. (–6 + 2) + (–10) = –6 + (2 + . . . )

6. (20 + (–1)) + . . . = . . . + (–1 + 3)

7. (–5 + . . . ) + 4 = –5 + (25 + . . .)

8. (. . . + (–3)) + 6 = 30 + (. . . + 6)

9. (39 + . . .) + (–10) = 39 + (–5 + (–10))

10. (–45 + 4) + . . . = –45 + (4 + 7)

 3. Sifat Distributif (Penyebaran)
     Perhatikan contoh berikut.

Penghitungan dilakukan dengan cara menjumlah kedua angka yang dikalikan (4 + 6). 
Kemudian hasilnya dikalikan dengan angka pengali (3).
3 × (4 + 6) = 3 × 10 = 30.
Mengapa cara ini digunakan?
Karena menghitung 3 × (4 + 6) = 3 × 10 lebih mudah daripada menghitung (3 × 4) + (3 × 6).

Penghitungan dilakukan dengan cara kedua angka yang dijumlah (10 dan 2) masing-masing dikalikan dengan angka pengali (15), kemudian hasilnya dijumlahkan.
15 × (10 + 2) = (15 × 10) + (15 × 2)
                      = 150 + 30
                      = 180
Cara ini juga untuk mempermudah penghitungan
karena menghitung (15 × 10) + (15 × 2) = 150 + 30
lebih mudah daripada menghitung 15 × (10 + 2) = 15 × 12.
Cara penghitungan seperti di atas menggunakan sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan.


Secara umum, sifat distributif pada penjumlahan dan pengurangan dapat ditulis:

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

a × (b – c) = (a × b) – (a × c)

dengan a, b, dan c bilangan bulat. 


Latihan

1. (4 × 17) + (4 × 3) = 4 × (17 + . . .)

2. (–3 × 9) + (–3 × 11) = . . . . × (9 + 11)

3. (–2 × 37) + (–2 × 13) = –2 × (. . . + 13)

4. 5 × (10 + 8) = (5 × . . .) + (5 × . . .)

5. 8 × (25 + 11) = (. . . × 25) + (8 × . . .)

6. (4 × 17) – (4 × 7) = 4 × (17 – . . .)

7. (–2 × 74) – (–2 × 49) = . . . × (74 – 49)

8. (–6 × 53) – (–6 × 28) = . . . × (. . . – 28)

9. 5 × (30 – 12) = (5 × . . .) – (5 × . . .)

10. 8 × (50 – 5) = (. . . × 50) – (8 × . . .)

MATEMATIKA itu mudah kan ????

Sumber : Buku Matematika Kelas VI
              Y.D. Sumanto, Heny Kusumawati, Nur Aksin